学测度论时会碰到某个非空集合$\Omega$的子集构成的集合$\Acal \subseteq \Pcal(\Omega)$，当其满足(1).$\emptyset \subseteq \Acal$；(2).$\Acal$关于$\setminus$封闭；(3).$\Acal$关于$\cup$封闭，称为环(ring)。众所周知抽象代数里有个数学结构也叫环，其上定义了加法、乘法两个二元运算，并且关于加法构成交换群(commutative group)，关于乘法构成半群(semigroup)，乘法对加法满足分配律。

　　为了区别，下面我们称前者为集合环，后者为代数环。本文说明两者的关系是$\Acal$能通过赋予合适的集合上的加法、乘法构成代数(交换)环当且仅当$\Acal$是集合环。

　　$\Leftarrow$较为简单，给出具体的加法、乘法定义再验证满足代数环公理即可。定义集合环$\Acal$中的加法为对称差： \begin{align*} X \Delta Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X), \quad \forall X, Y \in \Acal \end{align*} 不难验证$(\Acal, \Delta)$构成交换群，其中交换律是显然的，封闭性由集合环关于$\setminus$、$\cup$封闭保证，又 \begin{align*} X \Delta \emptyset & = (X \setminus \emptyset) \cup (\emptyset \setminus X) = X \\ X \Delta X & = (X \setminus X) \cup (X \setminus X) = \emptyset \end{align*} 因此$\emptyset$是单位元，逆元就是自身，结合律$(X \Delta Y) \Delta Z = X \Delta (Y \Delta Z)$通过集合运算进行验证较为繁琐，根据下面的Venn图易知其成立。

　　定义乘法为$\cap$，于是交换律、结合律都是显然的，由于$X \setminus Y = X \cap \complement Y$，因此 \begin{align*} X \setminus (X \setminus Y) = X \setminus (X \cap \complement Y) = X \cap \complement (X \cap \complement Y) = X \cap (\complement X \cup Y) = X \cap Y \end{align*} 即封闭性也是满足的(这也说明集合环关于$\cup$、$\cap$、$\setminus$都是封闭的)。

　　最后验证$\Delta$对于$\cap$满足分配律，由于 \begin{align*} X \Delta Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) = (X \cap \complement Y) \cup (Y \cap \complement X) = (X \cup Y) \cap (\complement X \cup \complement Y) \end{align*} 于是 \begin{align*} (X \Delta Y) \cap Z & = (X \cup Y) \cap (\complement X \cup \complement Y) \cap Z \\ & = (X \cup Y) \cap (\complement X \cup \complement Y \cup \complement Z) \cap Z \\ & = [(X \cup Y) \cap Z] \cap [\complement X \cup \complement Y \cup \complement Z] \\ & = [(X \cap Z) \cup (Y \cap Z)] \cap [\complement (X \cap Z) \cup \complement(Y \cap Z)] \\ & = (X \cap Z) \Delta (Y \cap Z) \end{align*} 同理易知有 \begin{align*} Z \cap (X \Delta Y) = Z \cap (X \cup Y) \cap (\complement X \cup \complement Y) = (X \cap Z) \Delta (Y \cap Z) = (Z \cap X) \Delta (Z \cap Y) \end{align*} 综上，若$\Acal \subseteq \Pcal(\Omega)$是集合环，则$(\Acal, \Delta, \cap)$构成代数(交换)环。

　　$\Rightarrow$较为复杂，因为我们不知道一个有望构成交换环的集合，它对应的加法、乘法分别是啥，所以我们得先把加法、乘法构造出来。

　　先考虑二元集合$R = \{0, 1\}$构成的交换环$(R, +, \times)$，不妨设加法单位元是$0$，由交换律可知 \begin{align*} 0 + 0 = 0, \quad 0 + 1 = 1 + 0 = 1 \end{align*} 若$1 + 1 = 1$，则$1$没有逆元，故$1 + 1 = 0$，不难验证这样定义的$(R, +)$构成交换群。由于$\times$对$+$满足分配律，因此 \begin{align*} 0 \times 0 = (0 + 0) \times 0 = 0 \times 0 + 0 \times 0 & \Longrightarrow 0 \times 0 = 0 \\ 0 \times 1 = (0 + 0) \times 1 = 0 \times 1 + 0 \times 1 & \Longrightarrow 0 \times 1 = 0 \\ 1 \times 0 = 1 \times (0 + 0) = 1 \times 0 + 1 \times 0 & \Longrightarrow 1 \times 0 = 0 \end{align*} 最后$1 \times 1$无论等于$0$还是$1$，$(R, \times)$均可构成半群。因此二元集合可构成两种环，加法均为 \begin{align*} 0 + 0 = 0, \quad 0 + 1 = 1 + 0 = 1, \quad 1 + 1 = 0 \\ \end{align*} 乘法分别为 \begin{align*} 0 \times 0 = 0, \quad 0 \times 1 = 1 \times 0 = 0, \quad 1 \times 1 = 0 \\ 0 \times 0 = 0, \quad 0 \times 1 = 1 \times 0 = 0, \quad 1 \times 1 = 1 \end{align*} 即只在$1 \times 1$的结果上有区别。若加法单位元是$1$，上述所有运算结果的$0$和$1$互换位置，整体结构不变。

　　设$R^\Omega = \{ f: \Omega \mapsto R \}$，由$R$的特性知每个$f$都是将$\Omega$中的一部分元素映射为$0$，剩下映射为$1$，因此$R^\Omega$中共有$|\Pcal(\Omega)|$个元素，每个元素均是$\Omega$某个子集的特征函数： \begin{align*} R^\Omega = \{ 1_X \mid X \in \Pcal(\Omega) \} \end{align*} 这样就在$R^\Omega$和$\Pcal(\Omega)$间建立了一一对应，即$g: 1_X \mapsto X$是一个双射。若$R^\Omega$想构成环，其上的加法、乘法只能由$R$上的加法、乘法导出： \begin{align*} \oplus: ~ & (1_X,1_Y) \mapsto (1_X \oplus 1_Y) (a) \triangleq 1_X(a) + 1_Y(a) \\ \otimes: ~ & (1_X,1_Y) \mapsto (1_X \otimes 1_Y) (a) \triangleq 1_X(a) \times 1_Y(a) \end{align*}

　　根据$R$上的加法规则有 \begin{align*} \oplus: ~ & (1_X,1_Y) \mapsto (1_X \oplus 1_Y) (a) = \begin{cases} 0 + 0 = 0 & \forall a \in \Omega \setminus (X \cup Y) \\ 1 + 0 = 1 & \forall a \in X \setminus Y \\ 0 + 1 = 1 & \forall a \in Y \setminus X \\ 1 + 1 = 0 & \forall a \in X \cap Y \end{cases} \end{align*} 即$R^\Omega$上的加法规则为 \begin{align*} (1_X,1_Y) \mapsto 1_X \oplus 1_Y = 1_{X \Delta Y} \end{align*} 两个集合的特征函数的加和等于其对称差的特征函数。$R$上的乘法规则不唯一 \begin{align*} \otimes: ~ & (1_X,1_Y) \mapsto (1_X \otimes 1_Y) (a) = \begin{cases} 0 \times 0 = 0 & \forall a \in \Omega \setminus (X \cup Y) \\ 1 \times 0 = 0 & \forall a \in X \setminus Y \\ 0 \times 1 = 0 & \forall a \in Y \setminus X \\ 1 \times 1 = 0~\text{或}~1 & \forall a \in X \cap Y \end{cases} \end{align*} 前者对应任何两个集合的特征函数的乘积都是空集的特征函数，后者对应乘积是交集的特征函数： \begin{align*} (1_X,1_Y) \mapsto 1_X \otimes 1_Y = 1_\emptyset ~\text{或}~ 1_{X \cap Y} \end{align*}

　　若$R$上的加法单位元是$1$，运算规则中的$0$和$1$互换位置，因此导出的$R^\Omega$上的加法规则为 \begin{align*} (1_X,1_Y) \mapsto 1_X \oplus 1_Y = 1_{\complement (X \Delta Y)} \end{align*} 同样乘法规则不唯一，其中一个对应任何两个集合的乘积都是全集的特征函数，另一个对应乘积是交集的补集的特征函数，即 \begin{align*} (1_X,1_Y) \mapsto 1_X \otimes 1_Y = 1_\Omega ~\text{或}~ 1_{\complement (X \cap Y)} \end{align*} 即在前者的基础上多个取补集的操作(空集的补集是全集)。

　　至此给出了$R^\Omega$可能构成的四种交换环 \begin{align*} & (R^\Omega, 1_X \oplus 1_Y = 1_{X \Delta Y}, 1_X \otimes 1_Y = 1_\emptyset) \\ & (R^\Omega, 1_X \oplus 1_Y = 1_{X \Delta Y}, 1_X \otimes 1_Y = 1_{X \cap Y}) \\ & (R^\Omega, 1_X \oplus 1_Y = 1_{\complement (X \Delta Y)}, 1_X \otimes 1_Y = 1_\Omega) \\ & (R^\Omega, 1_X \oplus 1_Y = 1_{\complement (X \Delta Y)}, 1_X \otimes 1_Y = 1_{\complement (X \cap Y)}) \end{align*} 注意对于第二种交换环有 \begin{align*} g(1_X \oplus 1_Y) & = g(1_{X \Delta Y}) = X \Delta Y = g(1_X) \Delta g(1_Y) \\ g(1_X \otimes 1_Y) & = g(1_{X \cap Y}) = X \cap Y = g(1_X) \cap g(1_Y) \end{align*} 即$(\Pcal(\Omega), \Delta, \cap)$同构于$(R^\Omega, \oplus, \otimes)$，也构成交换环，其他情形没有如此简洁的对应(常用的二元集合运算没有结果恒为空集、全集或两者对称差、交集的补集，除非重新定义)。

　　对$\forall \Acal \subseteq \Pcal(\Omega)$，若其能够构成代数环，则$(\Acal, \Delta, \cap)$应为$(\Pcal(\Omega), \Delta, \cap)$的子环，即$\Acal$对$\Delta$、$\cap$保持封闭，于是对$\forall X, Y \in \Acal$有 \begin{align*} \emptyset & = X \Delta X \in \Acal \\ X \setminus Y & = (X \Delta Y) \cap X \in \Acal \\ X \cup Y & = (X \Delta Y) \Delta (X \cap Y) \in \Acal \end{align*} 因此$\Acal$是集合环。